Проверка гипотез

Виды правовых гипотез

Простой; сложный; альтернативный.

Само допущение, как часть нормы права, указывает на определенное условие (предположение, юридический факт), с которого положение вступает в силу.

Норма права гласит, что сложная гипотеза состоит из более чем одного условия (предположения, юридического факта), с выполнением которого диспозиция вступает в силу.

Альтернативная гипотеза — часть закона, обозначающая одно или (и) другое определенное условие (предположение, юридический факт), при наступлении которого диспозиция вступает в действие.

Дискретный закон распределения

Теоретические частоты для дискретной случайной величины мы рассчитываем по формуле

Где Пример. На основе результатов выборки, взятой из совокупности, характеристика которой

Решение. Для расчета теоретических частот используем формулу Пуассона

где 

Соответственно, теоретические частоты составляют:

Всё кончено:

Как мы видим, большая разница между эмпирическими и теоретическими частотами ставит под сомнение предположение о наличии закона распределения Пуассона

Малый объем выборки  и неизвестные значения дисперсий генеральной совокупности

При малых объемах выборки статистический критерий для

Мы получаем распределение студентов с

Пример. В рассматриваемый день для измерения напряжения использовались два прибора. Результаты измерений представлены в виде статистического распределения

Предполагая, что случайные величины

1. Проверить правильную нулевую гипотезу

На рисунке 135 показана правосторонняя критическая область.

По формуле Вывод. Из заключения. Из примера. Из двух объемных образцов

Решение. Статистическим критерием в данном случае является случайная величина

то есть 

На рис. 137 показана критическая часть изображения.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия

Вывод. Поскольку то

Непрерывный закон распределения

Если плакат

или 

где 

Пример. ОКК (отдел технического контроля) измерил 400 роликов из заводской партии. Результаты измерений приведены в следующей таблице:

Предполагая, что знак

Используя данное интервальное статистическое распределение, строим дискретное статистическое распределение средних частичных интервалов, а именно:

А теперь давайте посчитаем:

Расчет теоретических частот с использованием формулы

Пример. При представленном интервальном статистическом распределении выборки

Используя следующую формулу

Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что признак генеральной совокупности гипотетически имеет нормальный закон распределения, так как различия между эмпирическими и теоретическими частотами, либо они относительно незначительны. Используя математическую статистику, эти утверждения должны быть проверены.

Пример. При представленном интервальном статистическом распределении выборки

Найти теоретические частоты, предполагая, что черта

Итак, мы имеем

Таким образом вы можете рассчитать

Через дискретное статистическое распределение

Таким образом мы достигаем

В таблице ниже представлен расчет теоретических частот:

Поскольку все предположения в приведенных выше примерах являются гипотезами, а не категорическими утверждениями, все они могут быть оценены с помощью критерия согласованности.

Критерий согласованности Пирсона. Критерий согласованности Пирсона представляет собой пример распределения случайной величины. Согласно заданному интервальному статистическому распределению случайной величины

В качестве дискретного статистического распределения мы увидим:

В таблице показан расчет теоретических частот:

Расчет наблюдаемого значения статистического критерия

Отсюда мы получим

По таблице (Приложение 8) находим значение

На Рис. 142 показана правосторонняя критическая область.

Заключение. De

Пример. Анализ роста 17-летних юношей дает следующие результаты:

Гипотетически обозначим, какой закон распределения мы имеем

Решение. Представьте себе построение гистограммы по заданному распределению (рис. 143).

Форма гистограмм частот свидетельствует о том, что знак

В таблице 1 представлены теоретические расчеты частот:

Вычисление согласованности значения

По таблице (приложение 8) находим значение

Критическая зона показана на Рисунке 144.

Заключение. De

Пример. В свете статистического распределения выборки:

Найти гипотетический закон распределения вероятностей случайной величины

Используя критерий согласованности Пирсона, мы оцениваем достоверность утверждения. Теоретические частоты в данном случае рассчитываются по формуле

где 

Вот теоретически вычисленные частоты:

Вычисление согласованности значения критерия

Из таблицы (Приложение 8) находим значение критической точки

Диаграмма критической области показана на рис. 146.

Заключение. De

Нулевая и альтернативная гипотезы

Проверяемая гипотеза называется основной гипотезой. Поскольку эта гипотеза предполагает отсутствие систематических различий (нулевые различия) между неизвестным параметром генеральной совокупности и значением, полученным в результате обработки выборки, она называется нулевой гипотезой и обозначается

Вместо нулевой гипотезы она должна читаться следующим образом:

Каждой нулевой гипотезе можно противопоставить несколько альтернативных (конкурирующих) гипотез, обозначаемых символом

Область принятия гипотезы. критическая область. критическая точка

Область принятия нулевой гипотезы. Набор значений статистического критерия

Критические зоны подразделяются на три категории:

Если

Показаны левосторонняя и правосторонняя критические точки, а также двусторонняя критическая точка.

Общий алгоритм проверки правильной нулевой гипотезы

Чтобы проверить правильность этого

2. Убедитесь, что выбранный статистический критерий соответствует сформулированной нулевой гипотезе.

3. В результате содержания нулевой и альтернативной гипотез строится правосторонняя, левосторонняя или двусторонняя критическая область, а именно:

Ладья

6. Отклонить или принять нулевую гипотезу на основе таких исследований

в случае, когда  

Для левосторонней критической области

Для нужной критической области

для двусторонней критической области 

или 

Учитывая, что критические точки

Ошибки первого и второго рода. мощность критерия

Неважно, насколько мала стоимость

Между первым и вторым типами ошибок существует тесная взаимосвязь.

Предположим, например, что мы проверим следующее

В этом случае следует допускать ошибки второго рода.

Эта ошибка представлена символьной вероятностью обоснованного отклонения мощности критерия.

Может возникнуть необходимость выбора статистического критерия при решении практических задач. В этой ситуации выбирайте критерий с высоким весом.

Параметрические и непараметрические  статистические гипотезы

Статистические гипотезы, описывающие значения параметра характеристики популяции, называются параметрическими гипотезами.

Например, статистическая гипотеза о числовых значениях генеральной средней

Термин непараметрический относится к статистическим гипотезам, разработанным на основе обработки выборки относительно закона распределения признака генеральной совокупности. В качестве примера можно привести гипотезу, основанную на обработке выборки, о том, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения, экспоненциальный закон и т.д.

Параметрические статистические гипотезы

Проверка того, верна ли нулевая гипотеза относительно среднего значения популяции:

Как проверить его правильность

При решении такого класса задач возможен один из трех случаев: 

1)   при 

Левосторонняя и правосторонняя критические области обозначаются одной критической точкой, двусторонняя критическая область обозначается двумя критическими точками, распределенными симметрично относительно нуля (в этом случае мощность критерия будет максимальной), будут равны друг другу по модулю и иметь противоположные знаки.

Чтобы построить правую критическую область, необходимо найти критическую точку

И не только:

На рис. 123 показана, по-видимому, правая критическая область.

Чтобы построить левостороннюю критическую область, нужно найти критическую точку

И далее: 

Учитывая тот факт, что функция Лапласа

И далее: 

где  

На ФИГУРЕ 1 показана двусторонняя критическая зона. 125.

Подходит ли предложенный подход к построению критических областей только при определенных условиях? если известно значение среднего квадратического отклонения Пример. Измерения диаметров шаров были разными. Так как Пример. Проведено 10 независимых экспериментов со случайной величиной

Критическая зона показана на рисунке 127.

Вот результаты расчета наблюдаемой величины критерия:

Заключение. Поскольку Пример. Отобрать выборку из генеральной совокупности с признаком решения. Рассчитаем значение

На рисунке 128 показана двухсторонняя критическая область.

Наблюдайте следующее значение критерия:

Заключение. С Пример. Из популяции, чей признак

Двухсторонняя критическая зона показана на рисунке 129.

Вычислим значение наблюдения критерия

Заключение. Так как Пример. Путем выборки из совокупности, элементами которой являются однотипные заготовки, длина которых

Это правая критическая область (Рис. 130):

Давайте рассчитаем наблюдаемое значение критерия

Заключение. De

Понятие термина гипотеза

Гипотеза — это часть нормы права, которая определяет разумное предположение, факты, обстоятельства или происшествия, на основании которых осуществляется диспозиция.

Гипотеза — это часть предложения, содержащая такие слова, как if, when, in the case of и т.д. Гипотеза может находиться в начале, середине или конце предложения.

Проверка гипотез

Next:  Две простые гипотезы
  Up:  Оглавление
  Previous:  Вопросы и упражнения

Если возможно выдвинуть несколько взаимоисключающих
«гипотез» о распределении элементов выборки, то возникает
задача выбора одной из этих гипотез на основании
выборочных данных. Как правило, по выборке конечного объема
безошибочных выводов о распределении сделано быть не может, поэтому
приходится считаться с возможностью выбрать неверную гипотезу.

Пусть дана выборка из распределения . Если не оговорено противное, считается,
что все наблюдения имеют одно и то же распределение.
В ряде случаев это предположение также нуждается в проверке
(см., например, ниже: гипотеза об однородности или гипотеза о случайности)
— в таких случаях одинаковая распределенность наблюдений не предполагается.
То же касается и независимости наблюдений.

Если гипотез всего две, то одну из них принято называть основной,
а другую — альтернативой или отклонением от основной гипотезы.

Пример 27.   (типичные постановки задач).  

1.

Выбор из нескольких простых гипотез:
, , (и другие предположения невозможны).

2.

Простая основная гипотеза и сложная альтернатива:
, .

Например,
, .

Еще вариант: дана выборка из семейства распределений , где . Простая
гипотеза . Сложная односторонняя альтернатива . Случай исключен априори.

3.

Сложная основная гипотеза и сложная альтернатива:
, .

Например, гипотеза о нормальности
, .

4.

Гипотеза однородности. Заданы несколько выборок:

из распределения ,
,
из распределения .
Проверяется гипотеза
— сложная гипотеза — против (сложной)
альтернативы
.

5.

Гипотеза независимости. Наблюдается пара случайных величин
.

По выборке из независимых наблюдений над парой проверяется гипотеза —
сложная гипотеза — против (сложной)
альтернативы
.

6.

Гипотеза случайности. В эксперименте наблюдаются случайных
величин
. По выборке ,  ,  , в которой
каждая случайная величина представлена одним значением, проверяется гипотеза —
сложная гипотеза — против (сложной) альтернативы
.

Эту задачу ставят, например, если требуется проверить качество датчика
случайных чисел.

О рандомизированных критериях, которые предписывают принимать каждую
гипотезу с некоторой (зависящей от выборки) вероятностью,
мы поговорим позднее.

Читатели должны были сделать такие выводы:

1.

Статистический критерий не отвечает на вопрос,
верна или нет проверяемая гипотеза.
Он лишь решает, противоречат или не противоречат выдвинутой гипотезе
выборочные данные, можно ли принять или следует отвергнуть данную гипотезу.

2.

Если есть одна основная гипотеза, а все остальное — нежелательные
отклонения от нее, то вывод «данные противоречат гипотезе» всегда весомее,
нежели вывод «данные не противоречат гипотезе».

3.

Нам неизвестно, какая из гипотез верна в действительности,
поэтому следует считаться с гипотетическими
вероятностями ошибок критерия. Если много раз применять критерий к выборкам
из распределения, для которого гипотеза верна, то примерно
доля таких выборок будет признана противоречащей гипотезе .

---

---

N.I.Chernova
9 сентября 2002

Проверка правильности непараметрических статистических гипотез

Все проверки параметрических статистических гипотез основывались на предположении, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения вероятностей и что их выводы могут быть ложными на основании второго распределения.

Таким образом, эти методы проверки гипотез можно применять, когда есть достаточная уверенность, что наблюдаемая генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения или, по крайней мере, близкий к нему.

Предположение о природе вариации может поддержать гипотезу о законе распределения признака в популяции. Более того, эти условия охватывают те, которые являются причиной теоремы Ляпунова. Например, определенные формальные свойства статистического распределения могут быть использованы для выдвижения гипотезы о законе распределения общего признака популяции, в частности, равен ли он нулю или нет.

Примером многоугольных фигур или гистограмм, которые могут быть использованы для вывода характера гипотетического распределения, является.

Пример. Согласно заданному статистическому распределению выборки признака

Решение. Мы можем построить гистограмму частот для выборки, учитывая статистическое распределение, показанное на рис. 140).

Решение. Построим гистограмму частот для заданного статистического распределения выборки. 140).

Мы можем построить кривую линию из центральных точек каждого прямоугольника гистограммы, если соединим пунктирные линии. Эта кривая линия похожа на график плотности нормального закона с ненулевым математическим ожиданием. Это может дать основание для гипотезы о нормальном законе распределения для признака. Согласно приведенному статистическому распределению выборки признака

гипотетически обозначить закон распределения признака генеральной совокупности. 

Решение. Запишите статистическое распределение в такой форме, чтобы построить гистограмму:

Так выглядит гистограмма частот (Рисунок 141).

Если соединить середины каждого прямоугольника последовательно пунктирной линией, то получится кривая, которая до некоторой степени напоминает график плотности вероятности экспоненциального закона распределения. Это порождает нулевую гипотезу относительно экспоненциального закона распределения популяционного признака.

Эмпирические частоты соответствуют частотам, которые наблюдаются при реализации образца, а теоретические — частотам, рассчитанным по формулам.

Проверка правильности нулевой гипотезы про равенство двух генеральных средних

Предположим, что существуют две генеральные совокупности, имеющие следующие характеристики

Тут могут наблюдаться два случая:

Случай 1. Размер выборки большой

Значения рассчитываются следующим образом

Статистический критерий — случайная величина

Которая имеет право на разложение

Соответственно, мы вычисляем наблюдаемое значение критерия:

или 

Пример. По заданному статистическому распределению двух выборок, взятых из двух генеральных совокупностей, признаки которых имеют нормальный закон распределения с величиной дисперсии генеральной совокупности

На рис. 1 изображена правосторонняя критическая область. 131.

Давайте рассчитаем наблюдаемое значение критерия

Заключение. De

При реализации двух выборок их популяций получили статистические распределения:

Уровень значимости

Эта критическая область показана на Рисунке 132 слева.

Рассчитаем наблюденное значение критерия

Заключение. De

Пример. Чтобы исследовать, растягивается ли определенный тип резины после химической обработки, шесть мотков резины были разделены пополам, причем половина резины была подвергнута химической обработке, а другая половина — нет.

Затем, используя прибор, измеряющий растяжение материала, были измерены мотки резины, результаты измерений представлены в виде двух статистических распределений с соответствующими значениями генеральной дисперсии

Критическая зона показана на Рисунке 133.

Вычислите наблюдаемое значение критерия

Заключение. С Пример. С помощью двух радиоизмерительных приборов было измерено расстояние до объекта. Результаты измерений можно представить в виде двух статистических распределений:

Диаграмма, показывающая критическую область, приведена на рис. 134.

Наблюдаемая величина критерия рассчитывается следующим образом:

Заключение. De

Проверка правильности нулевой гипотезы про равенство двух дисперсий

Среди основных задач статистического анализа — сравнение двух или более выборочных вариаций. Сравнивая выборочные дисперсии с одной и той же популяционной дисперсией, можно определить, можно ли считать эти дисперсии статистическими оценками. Расчет дисперсии измерения процесса в первую очередь основан на этом.

Сравнение дисперсий 

Плотность вероятности распределения Фишера-Снедекора

Отмечается только на положительной полубольшой оси, т.е.

Решение. Несомненно, производительность стабилизаторов с улучшенным устройством и без него зависит от дисперсии измеряемых ими температур. Это сводит проблему к сравнению двух дисперсий.

Давайте рассчитаем скорректированную дисперсию выборки.

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Число степеней свободы для большей исправленной дисперсии

Мы строим правостороннюю критическую область, поскольку улучшение температурного стабилизатора только уменьшает дисперсию. Из этого следует,

Находим критическую точку по таблице (Приложение 7) соответственно данному уровню значимости

На рисунке 138 справа показана критическая зона.

Заключение. De

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия

Что касается альтернативной гипотезы

Этот регион показан на рисунке 139.

Вывод. Поскольку 

Простые и сложные статистические гипотезы

Как правило, простая гипотеза принадлежит параметру генеральной совокупности и является однозначной.

Параметр генеральной совокупности может быть объяснен с помощью простой гипотезы определенным числом, таким как:

Неясно, что означает сложная статистическая гипотеза. Эта модель может утверждать, что значения параметра находятся в определенном диапазоне вероятных значений, который может быть дискретным или непрерывным.

Например: 

Помимо установления значения одного параметра генеральной совокупности, нулевая гипотеза может также определить общий закон распределения генеральной совокупности.

Статистический критерий. эмпиричное значение критерия

Для проверки достоверности статистической гипотезы необходимо определить соответствующий статистический критерий, который используется для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу или нет. Статистический критерий, который условно обозначается как

Характерные черты гипотезы

Гипотезу можно определить по следующим элементам

Гипотеза должна присутствовать в любом познавательном процессе. Связь между ранее достигнутыми знаниями и новыми фактами;

Гипотеза всегда должна сопровождаться предположением;

(3) это предположение основано на изучении материала на основе неоднократных наблюдений.