Пересечение поверхности плоскостью и прямой с примерами

Пересечение прямой линии с поверхностью

Аналитически для определения координат точек пересечения прямой линии с поверхностью необходимо решить следующую систему уравнений:

где

Графическое решение задачи на определение точек пересечения прямой линии с поверхностью аналогично задаче нахождения точки пересечения прямой линии с плоскостью. Точки пересечения прямой линии с поверхностью определяются способом вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм решения задачи следующий:

1. через прямую проводится вспомогательная плоскость  (рис.216);
2. находится линия пересечения вспомогательной плоскости  с данной поверхностью 
3. на пересечении полученной линии пересечения  с заданной прямой а найдутся искомые точки  и
4. определяется видимость прямой.

Через прямую можно провести сколько угодно различных плоскостей, однако для упрощения решения задачи надо выбирать такую вспомогательную плоскость, в пересечении которой с данной поверхностью получились бы простые линии (прямые или окружности). Вспомогательная плоскость а задана горизонтально-проецирующая прямая б решена задача на пересечение горизонтали

Во всех приведенных выше задачах вспомогательная секущая плоскость занимает частное положение. Вспомогательную плоскость общего положения удобно использовать в задачах при пересечении прямой линии с конической или цилиндрической поверхностью. При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость проводят через данную прямую параллельно образующим цилиндра. В этом случае в сечении плоскости с цилиндром получаются прямые линии.

Пример решения задачи на пересечение прямой с цилиндром приведен на рис. 219. Задан наклонный цилиндр с круговыми основаниями. Для построения точек пересечения поверхности цилиндра с прямой линией

Примеры решения задач

Задача 1. Построить линию пересечения пирамиды с горизонтально-проецирующей плоскостью 

При пересечении пирамиды плоскостью получается ломаная линия.    

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным следом

Видимость линии пересечения определяется в соответствии с видимостью граней пирамиды. Стороны линии пересечения, лежащие на видимых гранях, будут видимыми, а лежащие на невидимых гранях — невидимы.

Задача 2. Построить линию пересечения сферы с фронтально-проецирующей плоскостью (рис. 235).

При пересечении сферы плоскостью

Для построения плавной кривой находятся промежуточные точки линии пересечения, как точки на соответствующих параллелях сферы.

Полученные точки линии пересечения соединяются с учетом видимости. На горизонтальной проекции линии пересечения будут видны точки, лежащие выше экватора в верхней половине сферы. Видимость поменяется на противоположную в точках Задача 3. Построить сечение прямого кругового конуса плоскостью общего положения линия сечения показана так, как будто заданная плоскость не ограничена треугольником 

Кривая сечения строится по точкам способом вспомогательных секущих плоскостей. Построения начинаются с опорных точек.

Высшая и низшая точки, как правило, лежат в общей плоскости симметрии двух пересекающихся геометрических образов. Плоскость

Задача 4. Построить линию пересечения сферы и прямого кругового конуса; проанализировать характерные точки линии; показать видимость линии пересечения и очерков поверхностей (рис. 237).

Анализ заданных г.о. показывает, что общая плоскость симметрии поверхностей

Для построения остальных точек искомой линии пересечения применяют способ вспомогательных секущих плоскостей.

Точки, лежащие на экваторе сферы (точки изменения видимости на

Точки искомой линии пересечения, лежащие на фронтальном очерке конуса, определяют при помощи фронтальной плоскости уровня Ф (i), проходящей через ось конуса. При пересечении фронтальной проекции очерка конуса с соответствующей параллелью сферы получают точки 5 и 6.

Для определения точек линии пересечения, принадлежащих фронтальному очерку сферы, вводят секущую плоскость

Задача 5. Построить линию пересечения конической поверхности и четверти торовой поверхности; проанализировать линию пересечения и ее проекции (рис. 238).

Решение задачи выполняем в следующей последовательности.

Сначала строим точки, расположенные в общей плоскости симметрии г). В рассматриваемой задаче точка б). С помощью плоскости

Все построенные точки соединяем с учетом видимости тех частей поверхностей, которым они принадлежат. Показываем видимость проекций очерков: толстой линией — видимые очерки, тонкой штриховой линией — невидимые очерки, очерки поверхностей, пропадающие друг в друге -тонкой сплошной линией. Построенная линия представляет собой симметричную замкнутую кривую линию четвертого порядка.

Проекции искомой линии являются плоскими кривыми (второго порядка), при этом горизонтальная проекция линии перехода симметрична относительно следа

Задача 6. Построить линию пересечения трехгранной призмы и прямого кругового конуса (рис. 239).

Анализ заданных геометрических образов показывает, что грани призмы пересекают коническую поверхность по кривым 2-го порядка.

Вид этих кривых определяют переменой плоскостей проекций, выбирая вспомогательную плоскость проекций так, чтобы грани призмы заняли проецирующее положение. Плоскость проекций

Для построения искомой линии пересечения целесообразно применять способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения.

Линия пересечения грани

После построения проекций линии пересечения показывают видимость очерков поверхностей.

Задача 7. Построить линию пересечения многогранников: шестигранной горизонтально-проецирующей призмы I и трехгранной наклонной призмы II (рис. 240).

Точки (1, 2, 3, 4, 5, 6), принадлежащие линии пересечения многогранников, получаем непосредственно без вспомогательных построений, как точки, в которых боковые ребра

Горизонтальные проекции линий пересечения совпадают с горизонтальными следами тех боковых граней призмы I, которым отрезки ломаной линии соответственно принадлежат.

После построения линии пересечения обводим ребра обоих многогранников, учитывая их видимость относительно друг друга.

Сечение поверхности плоскостью общего положения

В случае, когда секущая плоскость занимает общее положение, схема построения точек линии пересечения совпадает с приведенным выше алгоритмом решения задачи, проиллюстрированным на рис. 203.

В соответствии с этим алгоритмом на рис. 207 показано нахождение точек линии пересечения поверхности вращения с плоскостью общего положения 

Полное решение задачи на пересечение поверхности конуса с плоскостью общего положения приведено ниже (рис. 236).

Рассмотрим применение способа вспомогательных секущих плоскостей для построения линии сечения цилиндра плоскостью. На рис. 208 заданы прямой круговой цилиндр и плоскость

Построение линии пересечения начинают с опорных точек.

Высшая и низшая точки искомой кривой располагаются в общей плоскости симметрии пересекающихся геометрических образов. Такой плоскостью является горизонтально-проецирующая плоскость

Точки изменения видимости 3 и 4 одновременно являются самой левой и самой правой точками искомой линии пересечения.

Для определения самой дальней 5 и самой ближней 6 точек эллипса проводятся вспомогательные секущие плоскости уровня

Ранее было показано, что построение линии пересечения поверхности с проецирующей плоскостью значительно проще, чем с плоскостью общего положения. Используя методы преобразования эпюра, можно секущую плоскость общего положения преобразовать в проецирующую и построить линию пересечения поверхности с плоскостью частного положения.

Пример такого преобразования приведен на рис. 209. Условие задачи соответствует задаче пересечения цилиндра с плоскостью общего положения (см. рис. 208).

Секущая плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций преобразована так, что она стала проецирующей. На новой плоскости проекций

Сечение поверхности проецирующей плоскостью

В случае, когда секущая плоскость является проецирующей, построение линии пересечения ее с поверхностью значительно упрощается.

Из рис. 203 видно, что линию а горизонтально проецирующая плоскость б приведена схема нахождения точек линии пересечения поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью сечения наклонного эллиптического конуса с круговым основанием горизонтально-проецирующей плоскостью