НОУ ИНТУИТ | Лекция | Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозирование

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозирование Женщине

Введение

Есть три сходных между собой понятия, три сестры: интерполяция, аппроксимация и регрессия.

У них общая цель: из семейства функций выбрать ту, которая обладает определенным свойством.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозирование
Интерполяция — способ выбрать из семейства функций ту, которая проходит через заданные точки. Часто функцию затем используют для вычисления в промежуточных точках. Например, мы вручную задаем цвет нескольким точкам и хотим чтобы цвета остальных точек образовали плавные переходы между заданными. Или задаем ключевые кадры анимации и хотим плавные переходы между ними. Классические примеры: интерполяция полиномами Лагранжа, сплайн-интерполяция, многомерная интерполяция (билинейная, трилинейная, методом ближайшего соседа и т.д). Есть также родственное понятие экстраполяции — предсказание поведения функции вне интервала. Например, предсказание курса доллара на основании предыдущих колебаний — экстраполяция.НОУ ИНТУИТ | Лекция | Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозированиеАппроксимация — способ выбрать из семейства «простых» функций приближение для «сложной» функции на отрезке, при этом ошибка не должна превышать определенного предела. Аппроксимацию используют, когда нужно получить функцию, похожую на данную, но более удобную для вычислений и манипуляций (дифференцирования, интегрирования и т.п). При оптимизации критических участков кода часто используют аппроксимацию: если значение функции вычисляется много раз в секунду и не нужна абсолютная точность, то можно обойтись более простым аппроксимантом с меньшей «ценой» вычисления. Классические примеры включают ряд Тейлора на отрезке, аппроксимацию ортогональными многочленами, аппроксимацию Паде, аппроксимацию синуса Бхаскара и т.п. НОУ ИНТУИТ | Лекция | Прогнозирование. Регрессионный анализ, его реализация и прогнозированиеРегрессия — способ выбрать из семейства функций ту, которая минимизирует функцию потерь. Последняя характеризует насколько сильно пробная функция отклоняется от значений в заданных точках. Если точки получены в эксперименте, они неизбежно содержат ошибку измерений, шум, поэтому разумнее требовать, чтобы функция передавала общую тенденцию, а не точно проходила через все точки. В каком-то смысле регрессия — это «интерполирующая аппроксимация»: мы хотим провести кривую как можно ближе к точкам и при этом сохранить ее максимально простой чтобы уловить общую тенденцию. За баланс между этими противоречивыми желаниями как-раз отвечает функция потерь (в английской литературе «loss function» или «cost function»).В этой статье мы рассмотрим линейную регрессию. Это означает, что семейство функций, из которых мы выбираем, представляет собой линейную комбинацию наперед заданных базисных функций ${f_i}$

Цель регрессии — найти коэффициенты этой линейной комбинации, и тем самым определить регрессионную функцию

$f$

(которую также называют

моделью

). Отмечу, что линейную регрессию называют линейной именно из-за линейной комбинации базисных функций — это не связано с самыми базисными функциями (они могут быть линейными или нет).

Регрессия с нами уже давно: впервые метод опубликовал Лежандр в 1805 году, хотя Гаусс пришел к нему раньше и успешно использовал для предсказания орбиты «кометы» (на самом деле карликовой планеты) Цереры. Существует множество вариантов и обобщений линейной регрессии: LAD, метод наименьших квадратов, Ridge регрессия, Lasso регрессия, ElasticNet и многие другие.

Линейная алгебра

К решению задачи мультилинейной регрессии можно прийти довольно естественно и с помощью линейной алгебры и геометрии, ведь даже то, что в функции потерь фигурирует норма вектора ошибок уже намекает, что у задачи есть геометрическая сторона. Мы видели, что попытка найти линейную модель, описывающую экспериментальные точки, приводит к уравнению

Если количество переменных равно количеству неизвестных и уравнения линейно независимы, то система имеет единственное решение. Однако, если число измерений превосходит число признаков, то есть уравнений больше чем неизвестных — система становится несовместной, переопределенной. В этом случае лучшее, что мы можем сделать — выбрать вектор

$mathbf{w}$

, образ которого

$Xmathbf{w}$

ближе остальных к

$mathbf{y}$

. Напомню, что множество образов или колоночное пространство

$mathcal{C}(X)$

— это линейная комбинация вектор-столбцов матрицы

$X$

-мерное линейное подпространство (мы считаем фичи линейно независимыми), линейная оболочка вектор-столбцов

$X$

. Итак, если

$mathbf{y}$

принадлежит

$mathcal{C}(X)$

, то мы можем найти решение, если нет — будем искать, так сказать, лучшее из нерешений.

Если в дополнение к векторам $mathcal{C}(X)$$mathbb{R}^{N}$$mathbf{v} in mathbb{R}^{N}$

равен нулю в том и только в том случае, если

$mathbf{v}$

перпендикулярен всем

$mathbf{x}_i$

, а значит и целому

$mathcal{C}(X)$

. Таким образом, мы нашли два перпендикулярных линейных подпространства, линейные комбинации векторов из которых полностью, без дыр, «покрывают» все

$mathbb{R}^N$

. Иногда это обозначают c помощью символа ортогональной прямой суммы

где

$text{ker}(X^{top})={mathbf{v}|X^{top}mathbf{v}=mathbf{0}}$

. В каждое из подпространств можно попасть с помощью соответствующего оператора проекции, но об этом ниже.

Теперь представим

$mathbf{y}$

в виде разложения

Если мы ищем решение

$hat{mathbf{w}}$

, то естественно потребовать, чтобы

$|| mathbf{y} - Xmathbf{w} ||$

была минимальна, ведь это длина вектора-остатка. Учитывая перпендикулярность подпространств и теорему Пифагора

но поскольку, выбрав подходящий

$mathbf{w}$

, я могу получить любой вектор колоночного пространства, то задача сводится к

$mathbf{y}_{perp}$

останется в качестве неустранимой ошибки. Любой другой выбор

$hat{mathbf{w}}$

сделает ошибку только больше.

Если теперь вспомнить, что

$X^{top} mathbf{y}_{perp} = mathbf{0}$

, то легко видеть

что очень удобно, так как

$mathbf{y}_{text{proj}}$

у нас нет, а вот

$mathbf{y}$

— есть. Вспомним из предыдущего параграфа, что

$X^{top} X$

имеет обратную при условии линейной независимости признаков и запишем решение

где

$X^{ }$

уже знакомая нам псевдообратная матрица. Если нам интересна проекция

$mathbf{y}_{text{proj}}$

, то можно записать

где

$text{Proj}_X$

— оператор проекции на колоночное пространство.

Выясним геометрический смысл коэффициента детерминации.

Заметьте, что фиолетовый вектор

$bar{y} cdot boldsymbol{1}=bar{y} cdot (1,1,dots,1)^{top}$

пропорционален первому столбцу матрицы информации

$X$

, который состоит из одних единиц согласно нашему выбору базисных функций. В RGB треугольнике

Так как этот треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора

Как быть Леди:  Как избавиться от страха что тебя предадут? 3 совета психологов, консультации

Это геометрическая интерпретация уже известного нам факта, что

Мы знаем, что

а значит

Красиво, не правда ли?

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

откуда   Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительноРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где т — количество наблюдений.Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммыРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами.

Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто:    из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов.

Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.Исходными данными для вычисления коэффициентов Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

запишем окончательные выражения для параметров:

Оценкой остаточной дисперсииРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
го столбца;Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Мощность статистического критерия. функция мощности

Определение. Мощностью критерия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

4) Статистический критерий

5) Критическая область — левосторонняя

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Случайная величина Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Ошибка первого рода: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Для зависимостиРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим статистику

Так как Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляцииРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы.

Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента.

Как быть Леди:  Ценности и ценностные ориентации -проблема XXIв (Белоконь Людмила) / Проза.ру

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Понятие о регрессионном анализе. линейная выборочная регрессия. метод наименьших квадратов (мнк)

Основные задачи регрессионного анализа:

  •  Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
  •  Проверка значимости коэффициентов регрессии
  •  Проверка адекватности модели
  •  Выбор лучшей регрессии
  •  Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

  1. Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения подчинены нормальному закону распределения.
  2. Дисперсия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения постоянна и не зависит от номера измерения.
  3. Результаты наблюдений Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения в разных точках независимы.
  4. Входные переменные Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент детерминации

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — наблюдаемое экспериментальное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения при Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — предсказанное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее уравнению регрессииРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — средневыборочное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7).

Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4

Предположим, что коммерческий агент рассматривает возможность закупки небольших зданий под офисы в традиционном деловом районе. Агент может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены здания под офис на основе следующих переменных:

у – оценочная цена здания под офис;

х1 – общая площадь в квадратных метрах;

х2 – количество офисов;

х3 – количество входов;

х4 – время эксплуатации здания в годах.

Агент наугад выбирает 11 зданий из имеющихся 1500 и получает следующие данные:

«Пол-входа» означает вход только для доставки корреспонденции.

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (х1,х2,х3,х4) и зависимой переменной (у), т.е. ценой зданий под офис в данном районе.

АВСDE
14-234,2372553,21012529,768227,641352317,83
1513,2680530,6691400,0668385,4293712237,36
160,99674970,5784#Н/Д#Н/Д#Н/Д
17459,7536#Н/Д#Н/Д#Н/Д
1817323933195652135#Н/Д#Н/Д#Н/Д

Уравнение множественной регрессии $m_{1}x_{1} m_{2}x_{2} m_{3}x_{3} m_{4}x_{4} b$$$y=27,64cdot x1 12530cdot x2 2553cdot x3-234,24cdot x4 52318eqno(14)$$

Теперь агент может определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе, которое имеет площадь 2500 м2, три офиса, два входа, зданию 25 лет, используя следующее уравнение:

$$y=27,64cdot 2500 12530cdot 3 2553cdot 2-234,24cdot 25 52318=158261 y.e.$$

Это значение может быть вычислено с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ:

При интерполяции с помощью функции

для получения уравнения множественной экспоненциальной регрессии выводится результат:

0,998357521,01737921,08301861,000170481510,335
0,000148370,00650410,00487246,033Е-050,1365601
0,991588750,0105158#Н/Д#Н/Д#Н/Д
176,8325486#Н/Д#Н/Д#Н/Д
0,078218510,0006635#Н/Д#Н/Д#Н/Д
#Н/Д#Н/Д#Н/Д#Н/Д#Н/Д

Коэффициент детерминированности здесь составляет 0,992 (99,2%), т.е. меньше, чем при линейной интерполяции, поэтому в качестве основного следует оставить уравнение множественной регрессии (14).

Таким образом, функции ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБЛ, НАКЛОН определяют коэффициенты, свободные члены и статистические параметры для уравнений одномерной и множественной регрессии, а функции ТЕНДЕНЦИЯ, ПРЕДСКАЗ, РОСТ позволяют получить прогноз новых значений без составления уравнения регрессии по значениям тренда.

Регрессия

из книги Ж.ЛАПЛАНШ, Ж.-Б.ПОНТАЛИС СЛОВАРЬ ПО ПСИХОАНАЛИЗУ

Нем.: Regression. —Франц.: r?gression. —Англ.: regression. —Исп.: regresi?n. — Итал.: regressione. — Португ.: tegress?o.

• Если представить психический процесс как движение или развитие, то рецессией называется возврат от уже достигнутой точки к одной из предыдущих.

С точки зрения топики, по Фрейду, регрессия осуществляется в ходе смены психических систем, через которые обычно возбуждение движется в определенном направлении.

С точки зрения времени, регрессия предполагает определенную генетическую последовательность и обозначает возврат субъекта к уже пройденным этапам развития (либидинальные стадии, объектные отношения, (само)отождествления и пр. ).

С точки зрения формальной, это переход к менее сложным, менее структурно упорядоченным и менее расчлененным способам выражения и поведения.

• Регрессия — это понятие, которое часто используется в психоанализе и современной психологии; обычно оно означает возврат к предыдущим формам развития мысли, объектных отношений, структуры поведения.

Поначалу Фрейд не интересовался возникновением регрессии. Впрочем, «регрессировать» — значит идти вспять, возвращаться назад, что можно себе представить как в логическом и пространственном, так и во временном смысле.

В «Толковании сновидений» (Die Traumdeutung, 1900) Фрейд ввел понятие регрессии для объяснения сущности сна: сновидные мысли предстают прежде всего в форме чувственных образов, которые преследуют субъекта почти как галлюцинация. Для объяснения этого феномена требуется подойти к нему с точки зрения топики*, чтобы психический аппарат имел вид ориентированной последовательности систем. В состоянии бодрствования возбуждения проходят сквозь эти системы, двигаясь вперед (т.е. от восприятия к движениям), тогда как во время сна мысли не способны разряжаться в движении и устремляются вспять, к системе восприятия (la). Таким образом, вводя понятие «регрессия», Фрейд понимал его прежде всего как понятие топики (а).

Как быть Леди:  Внутренний взрослый

Временное значение регрессии, поначалу неявное, стало усиливаться в концепции Фрейда одновременно с выявлением новых моментов в психосексуальном развитии индивида.

В «Трех очерках по теории сексуальности» (Drei Abhandlungen zur Sexualtheorie, 1905) термин «регрессия» не встречается, однако здесь мы уже видим указания на возможность возврата либидо на обходные пути удовлетворения (2а) и к прежним его объектам (2b). Заметим в этой связи, что те места текста, где речь идет о регрессии, были добавлены лишь в 1915 г. По сути, и сам Фрейд признавал, что мысль о регрессии либидо к предыдущему способу организации возникла лишь в более поздний период (За). В самом деле, для выработки понятия временной регрессии потребовалось (в 1910— 1912 г.) прояснить последовательность стадий детского психосексуального развития. В «Предрасположенности к. неврозу навязчивости» (Die Disposition zur Zwangsneurose, 1913), например, Фрейд противопоставлял те случаи, когда «…сексуальная организация, предрасположенная к неврозу навязчивости, раз возникнув, сохраняется до конца», и те случаи, когда «она поначалу замещается организацией более высокого уровня, а затем приходит в регрессивное движение — вниз от этой стадии» (4).

Таким образом, судя по отрывку, добавленному к «Толкованию сновидений» в 1914 г., Фрейду пришлось провести в понятии регрессии внутренние разграничения: «Мы различаем регрессию трех видов: а) топическую, обусловленную функционированием психического аппарата; б) временную, при которой вновь вступают в действие прежние способы психической организации; в) формальную, заменяющую обычные способы выражения и образного представления более примитивными. Эти три формы регрессии в основе своей едины, поскольку более давнее во времени оказывается одновременно и более простым по форме, располагаясь в психической топике вблизи восприятия» (1b).

Топическая регрессия особенно ярко проявляет себя в сновидениях, где она осуществляется до конца. Однако ее можно обнаружить и в патологических процессах, где она распространяется не столь широко (галлюцинация), или в нормальных процессах, где она идет не столь далеко (память).

Понятие формальной регрессии реже использовалось Фрейдом, хотя оно охватывает многие явления, при которых происходит возврат от вторичных процессов к первичным (переход от тождества мысли* к функционированию сообразно с принципом тождества восприятия*). Здесь напрашивается сравнение того, что Фрейд называл формальной регрессией, с нейрофизиологическим «разложением» (поведения, сознания и т.д.) джексоновского типа. Предполагаемый при этом порядок связан «е с последовательностью этапов развития индивида, но скорее с иерархией функций и структур.

В рамках временной регрессии Фрейд различает несколько линий: регрессию по отношению к объекту, регрессию по отношению к либидинальной стадии и регрессию по отношению к эволюции Я (Зb).

Все эти различия связаны не только с заботой о строгости классификации. Дело в том, что в некоторых нормальных или патологических структурах различные типы регрессии не совпадают друг с другом; Фрейд отмечал, например, что «…при истерии систематически наблюдается регрессия либидо к первичным сексуальным объектам инцестуозного типа, хотя регрессии к предыдущим стадиям сексуальной организации при этом не происходит» (Зс).

Фрейд настаивал на том, что прошлое ребенка — индивида, а тем самым и всего человечества — навсегда остается в нас: «Первичные состояния всегда могут возникнуть вновь. Первичная психика в собственном смысле слова неуничтожима» (5). Фрейд повторяет эту мысль о возврате к прошлому применительно к самым различным областям — психопатологии, сновидениям, истории культуры, биологии и пр. На обновление прошлого в настоящем указывает также и понятие навязчивого повторения. Для выражения этой мысли Фрейд использует не только термин Regression, но и смежные по смыслу термины — R?ckbildung, R?ckwendung, R?ckgreifen и т.д.

Понятие регрессии прежде всего описательное, как считал и сам Фрейд. И потому его недостаточно для понимания того, каким именно образом субъект осуществляет возврат к прошлому. Некоторые разительные психопатологические состояния подталкивают нас к реалистическому пониманию регрессии: иногда говорят, что шизофреник становится грудным младенцем, кататоник возвращается в зародышевое состояние и т.д. Однако, когда применительно к человеку, страдающему неврозом навязчивости, говорят о регрессии к анальной стадии, это понимается не так, как в предыдущих примерах. В еще более ограниченном смысле можно говорить о регрессии при трансфере, когда речь идет о поведении субъекта в целом.

Хотя все эти фрейдовские разграничения и не позволяют дать понятию регрессии строгое теоретическое обоснование, они по крайней мере запрещают нам мыслить ее как нечто всеобъемлющее. В результате мы видим, что понятие регрессии связано с понятием фиксации, вовсе не сводимым к закреплению поведенческих схем. Если понимать фиксацию как «запись» (см.: Фиксация; Представление как репрезентатор влечения), регрессия может быть истолкована как повторный ввод в действие того, что уже было «записано». Тогда, скажем, «оральную регрессию» (в особенности при прохождении психоанализа) стоило бы понимать так: в своих высказываниях и установках субъект заново открывает то. что Фрейд некогда называл «языком орального влечения»(6).

 Содержание дальше >>Комментарии (1)
Обратно в раздел психология

Оцените статью
Ты Леди!
Добавить комментарий